Mandelbrot Set - 在复平面上绘制曼德博集合

曼德博集合（Mandelbrot set，或译为曼德布洛特复数集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合，以数学家本华·曼德博的名字命名。曼德博集合与朱利亚集合有些相似的地方，例如使用相同的复二次多项式来进行迭代。(维基百科)

其中的迭代公式：

f(Zn+1)=Zn^2+c

其中，c是任意复数。我们知道c可以表示为：c=x+y*i。根据复数的定义，i^2=-1。因此，我们通过将二维平面当作复平面，x是其中复数的实部R,y是复数的虚部Im。根据上面的额迭代公式，使用OpenCL对每个点进行同步的迭代，快速得到曼德博集合。

//openCL代码
kernel void Mandelbrot(
    global write_only int* result,
    int width,//图片宽度
    int height,//图片高度
    float minReal,//最小实部
    float maxReal,//最大实部
    float minIma,//最小虚部
    float maxIma,//最大虚部
    int max_iter)//最大迭代次数，当迭代这么多次后，该复数还没逃逸，则认为其在曼德博集合中
{
    //获取GPU当前线程的编号，可以将这个物化为图片当前位置的一个像素点的计算方位
    int tX = global_get_id(0);
    int tY = global_get_id(1);

    //计算坐标的刻度值
    float real_inter = (maxReal - minReal) / width;
    float ima_inter = (maxIma - minIma) / height;

    //当前线程（像素点）在复平面的位置
    int cX = minReal + tx * real_inter;
    int cY = minIma + (height - tY) * ima_inter;

    //迭代
    float zX=0;
    float zY=0;
    int iter=0;
    float length_sqr=0;

    do
    {
        iter++;
        float temp = zX * zX - zY * zY + cX;
        zY = 2 * zX * zY + cY;
        zX = temp;

        length_sqr=zX * zX + zY * zY;//在GPU上，根号运算要慢得多
    }//根据曼德博集合的性质，我们知道集合的中的任意一个复数|z|<2,因此对于复数z=tX+tY*i,|z|^2=tX*tX+tY*tY<4
    while(length_sqr < 4 && iter < max_iter);
    
    int loc = tY * width + tX;
    result[loc] = iter;//通过迭代值来标识当前位置的像素点是否属于曼德博集合
}

这种每个点都可以独立迭代运算，互不干扰的特性，最适合用GPU来进行计算的了，因此，通过OpenCL,我们可以快速得到想要的数据。使用 Surface Book 的内置显卡nVidia 520计算3000*3000规模,迭代512次的数据，可以在30ms内完成。如下是通过得到的数据生成的一些配色图：

复数与曼德罗集合的相关信息，可参考：https://msdn.microsoft.com/zh-cn/library/jj635753(v=vs.85).aspx